Funktionsuppgift

Uppgift 3564

För en funktion gäller att f(0) = 4 och f(3) = 8.

Bestäm f(2) och svara exakt om funktionen f är:

a) f(x) = kx + m

b) f(x) = ax² + b

c) f(x) = C · aˣ

Uppgiftsbild

Notera: Denna uppgift handlar om att bestämma värdet f(2) för tre olika funktionstyper som alla passerar genom punkterna (0,4) och (3,8). Du behöver först bestämma konstanterna i funktionerna genom att använda de givna punkterna.

Hur man löser uppgiften

För att lösa denna uppgift behöver du:

  1. För varje funktionstyp, sätt in de kända punkterna (0,4) och (3,8) för att bestämma konstanterna.
  2. För den linjära funktionen a):
    • Sätt in x=0: f(0) = k·0 + m = 4 ger m = 4
    • Sätt in x=3: f(3) = k·3 + m = 8 ger k·3 + 4 = 8 vilket ger k = 4/3
  3. För andragradsfunktionen b):
    • Sätt in x=0: f(0) = a·0² + b = 4 ger b = 4
    • Sätt in x=3: f(3) = a·3² + b = 8 ger a·9 + 4 = 8 vilket ger a = 4/9
  4. För exponentialfunktionen c):
    • Sätt in x=0: f(0) = C·a⁰ = C·1 = 4 ger C = 4
    • Sätt in x=3: f(3) = C·a³ = 4·a³ = 8 ger a³ = 2 vilket ger a = ∛2
  5. När du hittat alla konstanter, sätt in x=2 i varje funktion för att beräkna f(2).

Quiz

Besvara alla frågor rätt för att låsa upp lösningen.

1. Vilket värde har konstanten m i den linjära funktionen f(x) = kx + m?

2. Vad är värdet på a i andragradsfunktionen f(x) = ax² + b?

3. Vilket värde har exponenten a i exponentialfunktionen f(x) = C · aˣ?

Diagram över funktionerna

Diagrammet visar de tre funktionerna som alla passerar genom punkterna (0,4) och (3,8).

Notera hur funktionerna har olika beteenden trots att de delar dessa två punkter:

  • Den linjära funktionen (röd) växer med konstant hastighet.
  • Andragradsfunktionen (blå) växer allt snabbare när x ökar.
  • Exponentialfunktionen (grön) växer långsamt i början men ökar sedan mycket snabbt.

Detta illustrerar en viktig matematisk insikt: Att ha några gemensamma punkter innebär inte att funktionerna beter sig lika överallt.

Om diagrammet inte visas automatiskt, klicka på knappen ovan.

Se speciellt på värdena vid x = 2 för att jämföra de tre funktionernas värden där.

Viktiga punkter:

  • f(0) = 4 för alla tre funktioner (en av våra givna villkor)
  • f(3) = 8 för alla tre funktioner (en av våra givna villkor)
  • f(2) varierar mellan funktionerna:
    • Linjär: f(2) = 20/3 ≈ 6,67
    • Kvadratisk: f(2) = 52/9 ≈ 5,78
    • Exponentiell: f(2) = 4·∛2² ≈ 6,35

Lösning

Värdet av f(2) för de tre funktionerna:

a) Linjär funktion: f(x) = kx + m

f(0) = k·0 + m = 4 ger m = 4

f(3) = k·3 + m = 8 ger k·3 + 4 = 8 vilket ger k = 4/3

f(2) = (4/3)·2 + 4 = 8/3 + 4 = 8/3 + 12/3 = 20/3 ≈ 6,67

b) Andragradsfunktion: f(x) = ax² + b

f(0) = a·0² + b = 4 ger b = 4

f(3) = a·3² + b = 8 ger a·9 + 4 = 8 vilket ger a = 4/9

f(2) = (4/9)·2² + 4 = (4/9)·4 + 4 = 16/9 + 4 = 16/9 + 36/9 = 52/9 ≈ 5,78

c) Exponentialfunktion: f(x) = C · aˣ

f(0) = C·a⁰ = C·1 = 4 ger C = 4

f(3) = C·a³ = 4·a³ = 8 ger a³ = 2 vilket ger a = ∛2 ≈ 1,2599

f(2) = 4·(∛2)² = 4·∛2²

Eftersom ∛2³ = 2 är ∛2² = 2^(2/3) ≈ 1,5874

Därför är f(2) = 4·1,5874 = 6,3496

Exakta svar:

a) f(2) = 20/3

b) f(2) = 52/9

c) f(2) = 4·∛2²

Beräknade parametrar:

Slutsats:

Denna uppgift visar att även om funktioner passar genom samma punkter, kan de ha olika beteenden och värden på andra ställen. De tre funktionerna går alla genom (0,4) och (3,8), men ger olika värden för f(2).

Detta illustrerar vikten av att förstå vilken typ av funktion som bäst beskriver ett fenomen, eftersom val av modell påverkar prediktioner.